知識點(diǎn)

一、定義與定義式

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

y=kx+b

則此時(shí)稱(chēng)y是x的一次函數。

特別地，當b=0時(shí)，y是x的正比例函數。即：y=kx (k為常數，k≠0)

二、一次函數的性質(zhì)：

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k 即：y=kx+b (k為任意不為零的實(shí)數 b取任何實(shí)數)

2.當x=0時(shí)，b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質(zhì)：

1.作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟

(1)列表;

(2)描點(diǎn);

(3)連線(xiàn)，可以作出一次函數的圖像——一條直線(xiàn)。因此，作一次函數的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線(xiàn)即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點(diǎn))

2.性質(zhì)：(1)在一次函數上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿(mǎn)足等式：y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點(diǎn)的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。

3.k，b與函數圖像所在象限：

當k>0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k<0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。

當b>0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、二象限;

當b=0時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)

當b<0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)三、四象限。

特別地，當b=O時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。這時(shí)，當k>0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)一、三象限;當k<0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)二、四象限。

四、確定一次函數的表達式：

已知點(diǎn)A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過(guò)點(diǎn)A、B的一次函數的表達式。

(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函數上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿(mǎn)足等式y=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b ……①和 y2=kx2+b ……②

(3)解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函數的表達式。

五、一次函數在生活中的應用：

1.當時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

2.當水池抽水速度f(wàn)一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：

1.求函數圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2

4.求任意線(xiàn)段的長(cháng)：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

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