一、和差倍數問(wèn)題

知識梳理：

和差問(wèn)題是已知兩個(gè)數的和或這兩個(gè)數的差，以及這兩個(gè)數之間的倍數關(guān)系，求這兩個(gè)數各是多少。

典型例題：

甲、乙兩人分別以不變的速度打字，2分鐘共打了240個(gè)字，已知甲每分鐘比乙多打10個(gè)字。問(wèn)甲、乙兩人每分鐘各打多少個(gè)?

解：設甲每分鐘打x個(gè)字，乙每分鐘打y個(gè)字。根據題意可列方程組為

2(x+y)=240①

x-y=10②

由①得x+y=120 ③，

②+③ 得2x=130，

解得x=65，將x=65代入②

得：y=55。

答：甲每分鐘打65個(gè)字，乙每分鐘打55個(gè)字。

思路點(diǎn)撥：

由甲乙兩人2分鐘共打了240個(gè)字可以得到第一個(gè)等量關(guān)系式2(x+y)=240，再由甲每分鐘比乙多打10個(gè)字可以得到第二個(gè)等量關(guān)系式x-y=10，組成方程組求解即可。

二、產(chǎn)品配套問(wèn)題

典型例題：

某車(chē)間有22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘1200個(gè)，螺母2000個(gè)，一個(gè)螺釘要配兩個(gè)螺母，為了使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品正好配套，應該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母?

解：設分配x名工人生產(chǎn)螺釘，y名工人生產(chǎn)螺母。由題意可

列方程組為

x+y=22①

2x1200x=2000y②

由②得6x=5y③，

由① 得x=22-y，

代入③得6(22-y)=5y，

整理得11y=132，解得y=12，則x=22-12=10。

答：應該分配10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母。

思路點(diǎn)撥：

本題的第一個(gè)等量關(guān)系比較容易得出：生產(chǎn)螺釘和螺母的工人共有22名;第二個(gè)等量關(guān)系的得出要弄清螺釘與螺母是如何配套的，即螺母的數量是螺釘的數量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫(xiě)反)。

三、工作量問(wèn)題

知識梳理：

我們在解決工程問(wèn)題時(shí)通常把工作總量看成1;

工作量=工作效率×工作時(shí)間;

總工作量=每個(gè)個(gè)體工作量之和;

工作效率=工作量÷工作時(shí)間(即單位時(shí)間的工作量);

工作效率=1÷完成工作的總時(shí)間。

典型例題：

現要整理一批文件，由1個(gè)人完成需要40個(gè)小時(shí)，計劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人和他們一起再做8小時(shí)，完成這項任務(wù)，假設這些人的工作效率都相同，則應先安排多少人工作?

解：設總工作量為1，應先安排x人工作。則每個(gè)人的工作效率為1/40，由題意可列方程為

4x·1/40+8(x+2)·1/40=1，

整理得3x/10=3/5，

解得x=2。

答：應先安排2人工作。

思路點(diǎn)撥：

首先將工作總量設成1，可以得到每人的工作效率，再根據x人先做4小時(shí)可以完成4x·1/40工作量，增加2人后，(x+2)人工作8小時(shí)完成8(x+2)1/40工作量，總量為1可以列出方程，解方程求解即可。

四、利潤問(wèn)題

知識梳理：

商品利潤=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià);

利潤率=利潤÷進(jìn)價(jià)×100%。

典型例題：

商店新進(jìn)一批商品準備出售，若打8折出售，則10天可以售完，并能獲利10000元;若打75折出售8天可以售完，可獲利8000元，商品存放一天需要100元的存貨費，求這批商品的本錢(qián)(購貨價(jià))和預售總價(jià)各是多少?

解：設這批商品的本錢(qián)是x元，預售總價(jià)是y元。由題意可列方程組為

0.8y-x-10·100=1000

0.75y-x-8·100=8000整理得

0.8y-x=11000①

0.75y-x=8800②

得①-②0.05y=2200，解得

y=44000，則x=08·44000-11000=24200。

答：這批商品的本錢(qián)是24200元，預售總價(jià)是44000元。

思路點(diǎn)撥：

本題有兩個(gè)未知數，即商品本錢(qián)和預售總價(jià)，也有兩個(gè)明顯的等量關(guān)系，即兩種打折出售的獲利情況，根據售價(jià)-成本-存貨費用=利潤，可以列出方程組求解即可。

五、行程問(wèn)題

路程=速度×時(shí)間;

相遇問(wèn)題：

快行距+慢行距=原距;

追及問(wèn)題：

快行距-慢行距=原距;

航行問(wèn)題：

順水/風(fēng)速度=靜水/風(fēng)速度+水流/風(fēng)速度;

逆水/風(fēng)速度=靜水/風(fēng)速度-水流/風(fēng)速度;

典型例題：

A B兩地相距480千米，一列慢車(chē)從A地開(kāi)出，一列快車(chē)從B地開(kāi)出。

(1)如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出相向而行，那么3小時(shí)后相遇;如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出同向(沿BA方向)而行，那么快車(chē)12小時(shí)可追上慢車(chē)，求快車(chē)與慢車(chē)的速度;

(2)如果慢車(chē)先開(kāi)出1小時(shí)，兩車(chē)相向而行，那么快車(chē)開(kāi)出幾小時(shí)可與慢車(chē)相遇?

解：(1)設快車(chē)的速度為x千米每小時(shí)，慢車(chē)的速度為y千米每小時(shí)。由題意可列方程組為

3(x+y)=480①

12(x-y)=480②

①x4得12(x+y)=1920③，

②+③得24x=2400，解得x=100，則 y=60。

答：快車(chē)的速度為100千米每小時(shí)，慢車(chē)的速度為60千米每小時(shí)。

(2)慢車(chē)開(kāi)出1小時(shí)后兩車(chē)相距480-60=420千米，

所以快車(chē)開(kāi)出21小時(shí)可與慢車(chē)相遇。

思路點(diǎn)撥：

這兩個(gè)問(wèn)題均可以利用路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系列方程(組)求解，要明確快車(chē)與慢車(chē)的路程與A、B兩地的距離之間的關(guān)系，相向而行兩車(chē)相遇時(shí)：快車(chē)路程+慢車(chē)路程=A、B兩地距離;同向而行兩車(chē)相遇時(shí)：快車(chē)路程-慢車(chē)路程=A、B兩地距離。

六、存貸款問(wèn)題

知識梳理：

利息=本金×利率×期數;

本息和(本利和)=本金+利息。

典型例題：

蔬菜種植專(zhuān)業(yè)戶(hù)徐先生要辦一個(gè)小型蔬菜加工廠(chǎng)，分別向銀行申請了甲，乙兩種貸款，共13萬(wàn)元，王先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為

3.5%，則甲，乙兩種貸款分別是多少萬(wàn)元?

解：設甲種貸款x元，乙種貸款y萬(wàn)元。由題意可列方程組為

x+y=13①

0.06x+0.035v=0.6075②

由①得x=13-y，代入②得

0.06(13-)+0.035=06075，

整理得0025-0.1725，解得 y-6.9，則x=6.1。

答：甲種貸款是61萬(wàn)元，乙種貸款是69萬(wàn)元。

思路點(diǎn)撥：

本題的等量關(guān)系：

甲種貸款+乙種貸款=13萬(wàn)元;

甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息=6075元。

七、數字問(wèn)題

知識梳理：

已知各數位上的數字，寫(xiě)出兩位數，三位數等這類(lèi)問(wèn)題一般設間接未知數，例如：若一個(gè)兩位數的個(gè)位數字為a，十位數字為b，則這個(gè)兩位數可以表示為10b+a。

典型例題：

已知各數位上的數字，寫(xiě)出兩位數，三位數等這類(lèi)問(wèn)題一般設間接未知數，例如：若一個(gè)兩位數的個(gè)位數字為a，十位數字為b，則這個(gè)兩位數可以表示為10b+a。

有一個(gè)兩位數，個(gè)位上的數比十位上的數大5，如果把這兩個(gè)數的位置對換，那么所得的新數與原數的和是143，求這個(gè)兩位數。

解：設兩位數個(gè)位上是x，十位上是y。由題意可列方程組為

x-y=5①

(10y+x)+(10x+y)=143②

由②得x+y=13③，

①+③得2x=18，解得x=9，則y=4。

答：這個(gè)兩位數是49。

思路點(diǎn)撥：

本題中的等量關(guān)系：

①個(gè)位上的數-十位上的數=5;

②原數+新數=143。

八、方案問(wèn)題

知識梳理：

在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需合理安排，從幾種方案中，選擇最佳方案。

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

方案選擇的題目較長(cháng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案。

典型例題：

已知：用2輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運貨10t;用1輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運貨11t。某物流公司現有31t貨物，計劃同時(shí)租用A型車(chē)a輛，B型車(chē)b輛，一次運完，且恰好每輛車(chē)都裝滿(mǎn)貨物。根據以上信息，解答下列問(wèn)題。

(1)1輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)都裝滿(mǎn)貨物一次可分別運貨多少?lài)?

(2)請你幫該物流公司設計租車(chē)方案;

(3)若A型車(chē)每輛需租金100元/次，B型車(chē)每輛需租金120元/次。出最省錢(qián)的租車(chē)方案，并求出最少租車(chē)費。

解：(1)設1輛A型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運貨x噸，1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運貨y噸。由題意可列方程為

2x+y=10①

x+2y=11②

由①得y=10-2x③，

將③代入②得，x+2(10-2x)=11，

整理得3x=9，解得x=3，則y=4。

答：1輛A型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運貨3噸，1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運貨4噸。

(2)根據題意可列方程為3a+4b=31，因為ab均為正整數所以ab的取值可分別為17或54或91。

答：該物流公司有三種租車(chē)方案。

方案一：租用A型車(chē)1輛 B型車(chē)7輛;

方案二：A型車(chē)5輛，B型車(chē)4輛;方案三：A型車(chē)9輛，B型車(chē)1輛。

思路點(diǎn)撥：

(1)本小問(wèn)兩個(gè)等量關(guān)系均可利用貨物的總噸數等于兩種車(chē)型所運貨物噸數之和，每種車(chē)型所運貨物的噸數等于該種車(chē)的數量乘以每輛車(chē)裝滿(mǎn)貨物時(shí)可運輸的貨物噸數，列出方程即可。

(2)根據貨物的總噸數等于兩種車(chē)型所運貨物噸數之和列出方程，求解即可。

(3)總費用等于A(yíng)型車(chē)的總費用加上B型車(chē)的總費用，比較三種方案的費用得出最省錢(qián)的租車(chē)方案。

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