一、反比例函數的定義

一般地，形如k/x(k為常數，k≠0)的函數稱(chēng)為反比例函數，其中x是自變量，y是函數，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數.

二、確定反比例函數的關(guān)系式

由于反比例函數中，只有一個(gè)待定系數k，因此只需要知道一.對x、 y的對應值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式用待定系數法求反比例函數關(guān)系式的一般步驟是:

(1)設所求的反比例函數為: y=k/x(k≠0);

(2)把已知條件(自變量與函數的對應值)代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數k的方程:

(3) 解方程求出待定系數k的值:

(4)把求得的k值代回所設的函數關(guān)系式中.

三、反比例函數的圖像和性質(zhì)

1、反比例函數的圖像特征:

反比例函數的圖像是雙曲線(xiàn)，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限;

反比例函數的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，永遠不會(huì )與x 軸、y軸相交，只是無(wú)限靠近兩坐標軸.

反比例函數的圖象和性質(zhì)

1.會(huì )用描點(diǎn)的方法畫(huà)反比例函數的圖象;(重點(diǎn))

2.理解反比例函數圖象的性質(zhì).(重點(diǎn)，難點(diǎn))

合作探究

探究點(diǎn)一：反比例函數的圖象

【類(lèi)型一】反比例函數圖象的畫(huà)法

作函數y=的圖象.

解析：根據函數圖象的畫(huà)法，進(jìn)行列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)即可.

解：列表：

描點(diǎn)、連線(xiàn)：

方法總結：作圖的一般步驟為：①列表;②描點(diǎn);③連線(xiàn);④注明函數解析式.

【類(lèi)型二】反比例函數與一次函數圖象位置的確定

在同一坐標系中(水平方向是x軸)，函數y=和y=kx+3的圖象大致是(　　)

解析：A.由函數y=的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象中k>0且過(guò)點(diǎn)(0，3)一致，故A選項正確;B.由函數y=的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象中k>0且過(guò)點(diǎn)(0，3)矛盾，故B選項錯誤;C.由函數y=的圖象可知k<0與y=kx+3的圖象中k<0且過(guò)點(diǎn)(0，3)矛盾，故C選項錯誤;D.由函數y=的圖象可知k>0與y=kx+3的圖象中k<0且過(guò)點(diǎn)(0，3)矛盾，故D選項錯誤.故選A.

方法總結：解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常先根據雙曲線(xiàn)圖象所在的象限確定k的符號，再確定一次函數的系數及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是否也符合圖案，如果符合，可能正確;如果不符合，一定錯誤.

【類(lèi)型三】實(shí)際問(wèn)題中函數圖象的確定

若按xL/min的速度向容積為20L的水池中注水，注滿(mǎn)水池需ymin.則所需時(shí)間ymin與注水速度xL/min之間的函數關(guān)系用圖象大致可表示為(　　)

解析：∵水池的容積為20L，∴xy=20，∴y=(x>0)，故選B.

方法總結：解答此類(lèi)問(wèn)題要先根據題意列出反比例函數關(guān)系式，然后依據實(shí)際情況確定函數自變量的取值范圍，從而確定函數圖象.

【類(lèi)型四】反比例函數圖象的對稱(chēng)性

若正比例函數y=-2x與反比例函數y=圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標為(-1，2)，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標為(　　)

A.(2，-1) B.(1，-2)

C.(-2，-1) D.(-2，1)

解析：∵正比例函數y=-2x與反比例函數y=的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，∴兩函數的交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng).∵一個(gè)交點(diǎn)的坐標是(-1，2)，∴另一個(gè)交點(diǎn)的坐標是(1，-2).故選B.

方法總結：反比例函數y=(k≠0)的圖象既是軸對稱(chēng)圖形又是中心對稱(chēng)圖形，對稱(chēng)軸是一、三(或二、四)象限角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)，對稱(chēng)中心是坐標原點(diǎn).

探究點(diǎn)二：反比例函數的性質(zhì)

【類(lèi)型一】根據解析式判定反比例函數的性質(zhì)

已知反比例函數y=-，下列結論不正確的是(　　)

A.圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，2)

B.y隨x的增大而增大

C.圖象分布在第二、四象限

D.若x>1，則-2

解析：A.(-1，2)滿(mǎn)足函數解析式，則圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1，2)，命題正確;B.在第二、四象限內y隨x的增大而增大，忽略了x的取值范圍，命題錯誤;C.命題正確;D.根據y=-的圖象可知，在第四象限內命題正確.故選B.

方法總結：解答此類(lèi)問(wèn)題要熟記反比例函數圖象的性質(zhì).

【類(lèi)型二】根據反比例函數的性質(zhì)判定系數的取值范圍

在反比例函數y=的每一條曲線(xiàn)上，y都隨x的增大而減小，則k的值可以是(　　)

A.-1B.3 C.1 D.2

解析：∵反比例函數y=的圖象在每一條曲線(xiàn)上，y都隨x的增大而減小，∴1-k>0，解得k<1.故選A.

方法總結：對于函數y=，當k>0時(shí)，其圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內y隨x的增大而減小;當k<0時(shí)，在第二、四象限，在每個(gè)象限內y隨x的增大而增大，熟記這些性質(zhì)在解題時(shí)能事半功倍.

三、板書(shū)設計

1.反比例函數的圖象：雙曲線(xiàn)既是軸對稱(chēng)圖形又是中心對稱(chēng)圖形.

2.反比例函數的性質(zhì)：

(1)當k>0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內y值隨x值的增大而減小;

(2)當k<0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內y值隨x值的增大而增大.

3、反比例函數的性質(zhì)

(1)如圖1，當k>0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支分別位于第一、 三象限，在每個(gè)象限內，y值隨x值的增大而減小:

(2) 如圖2，當k<0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內，y值隨x值的增大而增大:

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