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2024年初中數學(xué)三角函數及公式

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò )資源 2023-08-04 18:01:46

中考真題

云分校

借助線(xiàn)三角函數線(xiàn),我們可以觀(guān)察到第二象限角α的正弦值為正,余弦值為負,正切值為負。

1.銳角三角函數定義

銳角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角A的銳角三角函數。

正弦(sin)等于對邊比斜邊;

余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;

正切(tan)等于對邊比鄰邊;

余切(cot)等于鄰邊比對邊;

正割(sec)等于斜邊比鄰邊;

余割(csc)等于斜邊比對邊。

2.互余角的三角函數關(guān)系

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα。

3.同角三角函數間的關(guān)系

商數關(guān)系:sinA/cosA=tanA

平方關(guān)系:sin^2(A)+cos^2(A)=1

積的關(guān)系:

sinA=tanA·cosA

cosA=cotA·sinA

cotA=cosA·cscA

tanA·cotA=1

倒數關(guān)系:

直角三角形ABC中

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊,

余切等于鄰邊比對邊

4.三角函數值

(1)特殊角三角函數值

(2)0°~90°的任意角的三角函數值,查三角函數表

(3)銳角三角函數值的變化情況

(i)銳角三角函數值都是正值

(ii)當角度在0°~90°間變化時(shí),

正弦值隨著(zhù)角度的增大(或減小)而增大(或減小)

余弦值隨著(zhù)角度的增大(或減小)而減小(或增大)

正切值隨著(zhù)角度的增大(或減小)而增大(或減小)

余切值隨著(zhù)角度的增大(或減小)而減小(或增大)

(iii)當角度在0°≤∠A≤90°間變化時(shí),

0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0

當角度在0°<∠A<90°間變化時(shí),

tanA>0, cotA>0

對稱(chēng)軸與對稱(chēng)中心

y=sinx 對稱(chēng)軸:x=kπ+π/2(k∈z) 對稱(chēng)中心:(kπ,0)(k∈z)

y=cosx 對稱(chēng)軸:x=kπ(k∈z) 對稱(chēng)中心:(kπ+π/2,0)(k∈z)

y=tanx 對稱(chēng)軸:無(wú) 對稱(chēng)中心:(kπ,0)(k∈z)

兩角和與差的三角函數

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化積公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

積化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan2α=2tanα/(1-tan^2)

cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2*secα·cscα

三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)

n倍角公式

根據歐拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

將左邊用二項式定理展開(kāi)分別整理實(shí)部和虛部可以得到下面兩組公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α

半角公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

輔助角公式

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin[α+arctan(B/A)]

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos[α-arctan(A/B)]

萬(wàn)能公式

sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan²(a/2)]

cos(a)=[1-tan²(a/2)]/[1+tan²(a/2)]

tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan²(a/2)]

降冪公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2=versin(2α)/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2=vercos(2α)/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和的三角函數

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

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