易錯(cuò)點(diǎn)突破

1.運(yùn)用三角形三邊關(guān)系性質(zhì)致誤

例1、若等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為6厘米，另一邊長(zhǎng)為2厘米，則它的周長(zhǎng)為( ).

A.10厘米 B.14厘米 C.10厘米或14厘米 D.無(wú)法確定

錯(cuò)解：由于本題未指明所給邊長(zhǎng)是等腰三角形的腰還是底，所以需討論：①當(dāng)腰長(zhǎng)為6厘米時(shí)，底邊長(zhǎng)為2厘米，則周長(zhǎng)為6+6+2=14(cm);②當(dāng)腰長(zhǎng)為2厘米時(shí)，底邊長(zhǎng)為6厘米，則周長(zhǎng)為6+2+2=10(cm). 故選C.

分析：本題錯(cuò)在沒(méi)有注意到三角形成立的條件：“三角形的任意兩邊之和大于第 三邊”，當(dāng)腰長(zhǎng)為2厘米，底邊長(zhǎng)為6厘米時(shí)，不能構(gòu)成三角形.

正解：本題只能把6厘米作為腰，2厘米作為底，故三角形的周長(zhǎng)為14厘米，故選B.

2.應(yīng)用判定方法致誤

例2、如圖3，已知AB=DC，OA=OD，∠A=∠D. 問(wèn)∠1=∠2嗎?試說(shuō)明理由.

錯(cuò)解：∠1=∠2. 理由如下：

在△AOB和△DOC中，因?yàn)锳B=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，

所以△AOB≌△DOC，所以∠1=∠2.

分析：不存在“角角角(AAA)”和“邊邊角(SSA)”的判定方法，即對(duì)于一般三 角形，“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等”和“有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定 全等.”

正解：在△AOB和△DOC中，因?yàn)锳B=DC，∠A=∠D，OA=OD，

所以△AO B≌△DOC(SAS)，所以∠1=∠2.

3.不理解“對(duì)應(yīng)”致誤

例3、已知在兩個(gè)直角三角形中，有一對(duì)銳角相等，又有一組邊相等，那么這兩個(gè)三角形是否全等?

錯(cuò)解：這兩個(gè)三角形全等.

分析：對(duì)“ASA”全等判定法中“對(duì)應(yīng)邊相等”沒(méi)有理解，錯(cuò)把邊相等當(dāng)成對(duì)應(yīng)邊相等.

正解：這兩個(gè)三角形不一定全等. 如圖4所示，在RT△EDC中，∠1=∠2，CD=AB，∠C=∠C=90°，顯然△ABC和△EDC不全等.

重難點(diǎn)析解

1.三角形的有關(guān)概念

例1能把一個(gè)三角形分成面積相等的兩部分的是該三角形的一條( )

A.中線 B.角平分線 C.高線 D.邊的垂直平分線

分析：根據(jù) 三角形中線的特征及其面積公式可知，等底同高的兩三角形的面積相等.

解：只有三角形的一條中線才能把三角形的面積分成相等的兩部分. 故選A.

評(píng)注：三角形的“三線”在解題中有著廣泛的應(yīng)用，因此，要正確認(rèn)識(shí)其定義及特征.

2.三角形的三邊之間的關(guān)系

例2下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是( ).

A.1厘米，2 厘米，3厘米 B.2厘米，3 厘米，6 厘米

C.4厘米，6 厘米，8厘米 D.5厘米，6 厘米，12厘米

分析：判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，只需檢驗(yàn)兩條較短的線段之和是否大于最長(zhǎng)線段即可，若大于則能構(gòu)成，否則不能構(gòu)成.

解：根據(jù)“三角形 的兩邊之和大于第三邊”.然后觀察四個(gè)選項(xiàng)，滿足兩邊之和大于第三邊的只有4厘米，6 厘米，8厘米. 故選C.

評(píng)注：涉及三角形三邊關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用.

3.三角形的內(nèi)角和

例3、如圖5，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3的度數(shù)是( ).

A.55° B.65° C.75° D.85°

分析：本題 可利用平角及鄰補(bǔ)角的定義，把 和 轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角.

解：由圖5可知：與∠1相鄰的補(bǔ)角為80°，與∠2相鄰的補(bǔ)角為35°，由三角形的內(nèi)角和為180°，可得∠3=180°-80°-35°=65° . 故選B.

評(píng)注：涉及三角形有關(guān)的角度計(jì)算問(wèn)題，一般要考慮到三角形內(nèi)角和的應(yīng)用.

4.全等三角形的性質(zhì)

例4、如圖6，已知AB=AD，AC=AE ，∠1=∠2 .試說(shuō)明BC=DE.

分析：要說(shuō)明BC=DE，只要說(shuō)明△ABC≌△ADE即可. 由已知條件可知，這兩個(gè)三角形已經(jīng)具備兩邊對(duì)應(yīng)相等，因此再找這兩邊的夾角相等即可.

解：因?yàn)?ang;1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE .

又因?yàn)锳B=AD，AC=AE，所以△ABC≌△ADE(SAS)，所以BC=DE .

評(píng)注：因?yàn)槿�等三角形的�?duì)應(yīng)邊相等，所以要說(shuō)明分別屬于兩個(gè)三角形的線段相等，常常通過(guò)說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等來(lái)解決問(wèn)題.

5.利用三角形全等解決實(shí)際問(wèn)題

例5、如圖7，A，B，C，D是四個(gè)村莊，B，D，C在一條東西走向公路的沿線上，BD=1千米，DC=1千米，村莊AC、AD間也有公路相連，且AD⊥ BC，AC=3千米，只有村莊AB之間由于間隔了一個(gè)小湖，所以無(wú)直接相連的公路. 現(xiàn)準(zhǔn)備在湖面上造一座斜拉橋，測(cè)得AE=1.2千米，BF=0.7千米. 試求所建造的斜拉橋長(zhǎng)有多少千米?

分析：由于村莊AB之間間隔了一個(gè)小湖，無(wú)法直接測(cè)量，故可利用轉(zhuǎn)化思想，由△ADB≌△ADC，得AB=AC=3千米，從而計(jì)算出EF的長(zhǎng).

解：在△ADB和△ADC中，因?yàn)锽D=DC，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，

所以△ADB≌△ADC(SAS).所以AB=AC=3千米.

所以EF=AB-(AE+BF)=3-(1.2+0.7)=1.1(千米).

評(píng)注：三角形全等是證明線段、角相等的重要依據(jù)，教材中全等三角形的例題、習(xí)題有很多是與生活息息相關(guān)的，其基本思路是通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

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