1三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.1三角形的內角和

在同一平面內,由一些不在同一條直線(xiàn)上的線(xiàn)段首位順次相接所圍成的封閉圖形叫做多邊形.組成多變形的那些線(xiàn)段叫做多邊形的邊.相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).多變形相鄰兩邊所夾的角叫做多邊形的內角,簡(jiǎn)稱(chēng)多邊形的角.多變形的角的一邊與另一邊的反向延長(cháng)線(xiàn)組成的角叫做多邊形的外角.

三角形內角和定理：三角形三個(gè)內角和等于180

在原來(lái)圖形上添畫(huà)的線(xiàn)叫做輔助線(xiàn)

依據三角形內角的特征,對三角形進(jìn)行分類(lèi)：三個(gè)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形;有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形;有一個(gè)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形;銳角三角形和鈍角三角形統稱(chēng)斜三角形.

在直角三角形中,夾直角的兩邊叫做直角邊,直角的對邊叫做斜邊.

推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

推論2三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內角的和

1.2三角形的有關(guān)線(xiàn)段

三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)和對邊相交,角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn)

連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn)

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向其對邊或對邊的延長(cháng)線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn),頂點(diǎn)和垂足間的線(xiàn)段叫做三角形的高

2全等三角形

2.1全等三角形的證明

邊邊邊有三邊對應相等的兩個(gè)三角形全等

邊角邊有兩邊及其夾角對應相等的兩個(gè)三角形全等

角邊角有兩角及其夾邊對應相等的兩個(gè)三角形全等

定理有兩角及其其中一角的對邊對應相等的兩個(gè)三角形全等

2.2直角三角形全等的判定

定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個(gè)直角三角形全等

3等腰三角形

3.1等腰三角形及其性質(zhì)

三角形的三邊,有的三邊互不相等,有的有兩邊相等,有的三邊都相等.三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形,有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.在等腰三角形中,相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角

定理等腰三角形的底角相等

推論等腰三角形頂角的平分線(xiàn)平分底邊并且垂直于底邊

定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形

定理一個(gè)三角形是等腰三角形的充要條件是這個(gè)三角形有兩個(gè)內角相等

等邊三角形定理1等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60

等邊三角形定理2三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

等邊三角形定理3有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形

3.2線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與角平分線(xiàn)

定理線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

定理和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),都在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上

線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看成是所有和線(xiàn)段兩段距離相等的點(diǎn)的集合

定理點(diǎn)在角平分線(xiàn)上的充要條件是這一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等

角的平分線(xiàn)可以看作是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

3.3軸對稱(chēng)

定義如果點(diǎn)A,B在直線(xiàn)l的兩側,且l是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn),則稱(chēng)點(diǎn)A,B關(guān)于直線(xiàn)l互相對稱(chēng),點(diǎn)A,B互稱(chēng)為關(guān)于直線(xiàn)l的對稱(chēng)點(diǎn),直線(xiàn)l叫做對稱(chēng)軸

定義在平面上,如果圖形F的所有點(diǎn)關(guān)于平面上的直線(xiàn)l成軸對稱(chēng),直線(xiàn)l叫做對稱(chēng)軸

定義在平面上,如果存在一條直線(xiàn)l,圖形F的所有點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對稱(chēng)點(diǎn)組成的圖形,仍是圖形F自身,則稱(chēng)圖形F為軸對稱(chēng)圖形,直線(xiàn)l是它的一條對稱(chēng)軸

定理(1)對稱(chēng)軸上的任意一點(diǎn)與一對對稱(chēng)點(diǎn)的距離相等(2)對稱(chēng)點(diǎn)所連線(xiàn)段被對稱(chēng)軸垂直平分

推論兩個(gè)圖形如果關(guān)于某直線(xiàn)稱(chēng)軸對稱(chēng),那么這兩個(gè)圖形是全等形

3.4三角形中的不等關(guān)系

定理三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角

定理三角形任何兩邊的和大于第三邊

推論三角形任何兩邊的差小于第三邊

定理在一個(gè)三角形中,如果兩邊不等,那么它們所對的角也不等,大邊所對的角較大

定理在一個(gè)三角形中,如果兩個(gè)角不等,那么它們所對的邊也不等,大角所對的邊較大

在一個(gè)三角形中,一條邊大于另一條邊的充要條件是,這條邊所對的角大于另一條邊所對的角

4直角三角形

4.1勾股定理逆定理

勾股定理逆定理如果三角形的三邊長(cháng)a,b,c滿(mǎn)足條件a+b=c,那么c所對的角是直角

4.2含30角的直角三角形的性質(zhì)

定理在直角三角形中,如果一個(gè)瑞角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

4.3直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)

定理在直角三角形中,斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半

5基本作圖

5.1基本作圖

5.1作三角形

5.3軌跡與反證法

我們把物體按某種規律運動(dòng)的路線(xiàn)叫做物體運動(dòng)的軌跡

我們就把一個(gè)點(diǎn)在空間按某種規律運動(dòng)的路線(xiàn),叫做這個(gè)點(diǎn)運動(dòng)的軌跡,這個(gè)點(diǎn)就叫做動(dòng)點(diǎn)

定義具有性質(zhì)a的所有點(diǎn)構成的集合,叫做具有性質(zhì)a的點(diǎn)的軌跡

軌跡具有純粹性和完備性

基本軌跡1與兩個(gè)已知點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是連結這兩點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

基本軌跡2與已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線(xiàn)

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