兩圓一線(xiàn)

一線(xiàn)，指的是線(xiàn)段的中垂線(xiàn);

兩圓，指的是以線(xiàn)段長(cháng)度為半徑，線(xiàn)段端點(diǎn)為圓心而產(chǎn)生的兩個(gè)圓。

首先，我們來(lái)解決第一個(gè)問(wèn)題，等腰三角形的生成問(wèn)題。

在平面內有一線(xiàn)段AB，點(diǎn)C為平面內任意一點(diǎn)，若△ABC為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C有幾個(gè)?點(diǎn)C的軌跡又是什么?根據等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段AB有可能為底邊，也有可能為腰，故有兩種基本情況。：線(xiàn)段AB為底邊，則有AC=BC，即點(diǎn)C到線(xiàn)段AB兩端點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上，此時(shí)點(diǎn)C有無(wú)數個(gè)，點(diǎn)C的軌跡為直線(xiàn)(不取與AB相交的點(diǎn))，如下圖：

情況（2）

：線(xiàn)段AB為腰，則有：①AB=AC，即點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離，則點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心，AB長(cháng)為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)C有無(wú)數個(gè)，點(diǎn)C的軌跡為圓(不取點(diǎn)B和與A、B共線(xiàn)點(diǎn))，如下圖：②A(yíng)B=BC，即點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離等于點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離，則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，AB長(cháng)為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)C有無(wú)數個(gè)，點(diǎn)C的軌跡為圓(不取點(diǎn)A和與A、B共線(xiàn)的點(diǎn))，如下圖：

請記住這兩圓一線(xiàn)：

綜上所述，這樣的點(diǎn)C有無(wú)數個(gè)，點(diǎn)C的軌跡為兩個(gè)圓和一條直線(xiàn)，為了方便記憶，我們簡(jiǎn)稱(chēng)“兩圓一線(xiàn)”，這是等腰三角形存在性處理的基本定性策略。

- 嘉成老師解析 -

同學(xué)們～碰到一次函數跟幾何結合的題目，等腰三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，要想到兩圓一線(xiàn)的方法;每一個(gè)點(diǎn)都有可能是定點(diǎn)，所有分3種情況進(jìn)行討論，其中一種是找垂直平分線(xiàn)，另外兩種是以給定的一個(gè)點(diǎn)為圓心，線(xiàn)段長(cháng)度為半徑，垂直平分線(xiàn)/圓與所給線(xiàn)段的交點(diǎn)，即為所求。

其次，我們來(lái)解決第二個(gè)問(wèn)題，等腰三角形的邊長(cháng)問(wèn)題。

求等腰三角形的邊長(cháng)，我們通常將其轉化為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，所以，我們來(lái)推導一下平面內兩點(diǎn)間的距離公式。已知平面內兩點(diǎn)A(1,2)、B(6,4)，求線(xiàn)段AB的長(cháng)度。連接AB，以AB為斜邊，構造直角邊與坐標軸平行的直角三角形，利用勾股定理解題，如下圖：

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