1.軸對稱(chēng)的定

把一個(gè)圖形沿著(zhù)某一條直線(xiàn)翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱(chēng)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對稱(chēng)，也稱(chēng)這兩個(gè)圖形成軸對稱(chēng)，這條直線(xiàn)叫做對稱(chēng)軸。折疊后重合的點(diǎn)是對應點(diǎn)，也叫做對稱(chēng)點(diǎn)。

【軸對稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著(zhù)某條直線(xiàn)對折后能夠完全重合.成軸對稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定全等�！�

2.軸對稱(chēng)圖形的定義

把一個(gè)圖形沿著(zhù)某直線(xiàn)折疊，如果直線(xiàn)兩旁的部分能互相重合，那么這個(gè)圖形是軸對稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)就是對稱(chēng)軸。

【軸對稱(chēng)圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對稱(chēng)軸分成的兩部分能夠互相重合.一個(gè)軸對稱(chēng)圖形的對稱(chēng)軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定�！�

3.軸對稱(chēng)與軸對稱(chēng)圖形的區別與聯(lián)系

軸對稱(chēng)與軸對稱(chēng)圖形的主要區別：軸對稱(chēng)是指兩個(gè)圖形，而軸對稱(chēng)圖形是一個(gè)圖形;軸對稱(chēng)圖形和軸對稱(chēng)的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對稱(chēng)圖形;反過(guò)來(lái)，若把軸對稱(chēng)圖形的對稱(chēng)軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)(原對稱(chēng)軸)對稱(chēng).。

4.軸對稱(chēng)的性質(zhì)

軸對稱(chēng)的性質(zhì)：成軸對稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對應點(diǎn)的連線(xiàn)被對稱(chēng)軸垂直平分;成軸對稱(chēng)的兩個(gè)圖形的任何對應部分也成軸對稱(chēng);成軸對稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等。

5.線(xiàn)段的軸對稱(chēng)性

①線(xiàn)段是軸對稱(chēng)圖形，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)是它的對稱(chēng)軸。

②線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等。

③線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆定理：到線(xiàn)段兩個(gè)端距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

【①線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，畫(huà)出到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現相等線(xiàn)段，直接或間接地為構造全等三角形創(chuàng )造條件。②三角形三邊垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心�！�

6.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

垂直并且平分一條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，也叫線(xiàn)段的中垂線(xiàn)。

7.角的軸對稱(chēng)性

(1)角是軸對稱(chēng)圖形，角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對稱(chēng)軸。

(2)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

(3)角的內部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。

【①用符號語(yǔ)言表示角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE=PF】

【②用符號語(yǔ)言表示角的內部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE=PF，則PD平分∠ADB 】

8.角平分線(xiàn)的畫(huà)法

角平分線(xiàn)的尺規作圖

·真題解析

考點(diǎn)1 判別軸對稱(chēng)圖形

例1

(2013年咸寧)下列學(xué)習用具中，不是軸對稱(chēng)圖形的是( 　)

分析

：根據軸對稱(chēng)圖形的概念：把一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合的圖形是軸對稱(chēng)圖形，對各選項逐一判斷即可。

解：

選項A、B、D是軸對稱(chēng)圖形，選項C不是軸對稱(chēng)圖形，故選C。

考點(diǎn)2 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)

例2

(2013年泰州)如圖1，在△ABC中，AB+AC=6 cm，BC的垂直平分線(xiàn)l與AC相交于點(diǎn)D，則△ABD的周長(cháng)為　　cm.

分析：

根據線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得DC=DB，進(jìn)而可確定△ABD的周長(cháng)。

解：

因為l垂直平分BC，所以DB=DC

所以△ABD的周長(cháng)=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6 cm.故填6。

考點(diǎn)3 畫(huà)軸對稱(chēng)圖形

例3

(2013年哈爾濱)如圖2所示，在每個(gè)小正方形的邊長(cháng)均為1個(gè)單位長(cháng)度的方格紙中，有線(xiàn)段AB和直線(xiàn)MN，點(diǎn)A，B，M，N均在小正方形的頂點(diǎn)上，在方格紙中畫(huà)四邊形ABCD(四邊形的各頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上)，使四邊形ABCD是以直線(xiàn)MN為對稱(chēng)軸的軸對稱(chēng)圖形，點(diǎn)A的對稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B的對稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C。

分析：

過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線(xiàn)MN的垂線(xiàn)，垂足為O，在垂線(xiàn)上截取OD=OA，D就是A關(guān)于直線(xiàn)MN的對稱(chēng)點(diǎn);同理，畫(huà)出點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)MN的對稱(chēng)點(diǎn)C;連接BC，CD，DA，即可得到四邊形ABCD。

解：

正確畫(huà)圖如圖3所示。

例4

(2013年重慶)作圖題：(不要求寫(xiě)作法)如圖4所示，△ABC在平面直角坐標系中，點(diǎn)A，B，C的坐標分別為A(-2，1)，B(-4，5)，C(-5，2)。

⑴作△ABC關(guān)于直線(xiàn)l：x=-1對稱(chēng)的△A1B1C1，其中，點(diǎn)A，B，C的對應點(diǎn)分別為A1，B1，C1;

⑵寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標。

分析：

⑴根據網(wǎng)格結構找出點(diǎn)A，B，C關(guān)于直線(xiàn)l的對稱(chēng)點(diǎn)A1，B1，C1，然后順次連接即可;⑵直接根據平面直角坐標系寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標。

解：

⑴畫(huà)△A1B1C1如圖5所示。

⑵A1(0，1)、B1(2，5)、C1(3，2)。

考點(diǎn)4 關(guān)于x軸或y軸對稱(chēng)的點(diǎn)的坐標

例5

(2013年遂寧)將點(diǎn)A(3，2)沿x軸向左平移4個(gè)單位長(cháng)度得到點(diǎn)A′，點(diǎn)A′關(guān)于y軸對稱(chēng)的點(diǎn)的坐標是(　　)

A.(-3，2) B.(-1，2) C.(1，2) D.(-1，-2)

分析：

先利用平移中點(diǎn)的變化規律求出點(diǎn)A′的坐標，再根據關(guān)于y軸對稱(chēng)的點(diǎn)的坐標特征即可求解。

解：

因為將點(diǎn)A(3，2)沿x軸向左平移4個(gè)單位長(cháng)度得到點(diǎn)A′，所以點(diǎn)A′的坐標為(-1，2)。所以點(diǎn)A′關(guān)于y軸對稱(chēng)的點(diǎn)的坐標是(1，2)，故選C。

考點(diǎn)5 等腰三角形的性質(zhì)

例6

(2013年臺灣)如圖6，在長(cháng)方形ABCD中，M為CD中點(diǎn)，分別以B，M為圓心，BC，MC長(cháng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P。若∠PBC=70°，則∠MPC的度數為(　 )

A.20° B.35° C.40° D.55°

分析：

根據等腰三角形兩底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根據“等邊對等角”求解即可.

解：

因為分別以B，M為圓心，BC，MC長(cháng)為半徑的兩弧相交于點(diǎn)P，所以BP=BC，MP=MC。

因為∠PBC=70°，所以∠BCP=1/2(180°-∠PBC)=1/2(180°-70°)=55°

在長(cháng)方形ABCD中，∠BCD=90°，所以∠MCP=90°-∠BCP=90°-55°=35°

所以∠MPC=∠MCP=35°，故選B。

考點(diǎn)6 等邊三角形的性質(zhì)

例7

(2013年黔西南州)如圖8，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線(xiàn)上，且CG=CD，DF=DE，則∠E的度數為

分析：

根據等邊三角形的性質(zhì)，可知∠ACB=60°，根據等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數。

解：

因為△ABC是等邊三角形，所以∠ACB=60°，∠ACD=120°

因為CG=CD，所以∠CDG=30°，∠FDE=150°

因為DF=DE，所以∠E=15°，故填15°

考點(diǎn)7含300角的直角三角形的性質(zhì)

例8

(2013年泰安)如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線(xiàn)DE交AC于點(diǎn)E，交BC的延長(cháng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長(cháng)是

分析：

根據題意推得∠DBE=30°，則在Rt△DBE中由“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”即可求得線(xiàn)段BE的長(cháng)度。

解：

因為FD⊥AB，所以∠ACB=∠FDB=90°

因為∠F=30°，所以∠A=∠F=30°

又DE垂直平分線(xiàn)AB，所以∠EBA=∠A=30°

因為DE=1，所以BE=2DE=2，故填2。

·誤區點(diǎn)撥

誤區1 軸對稱(chēng)含義理解不清致錯

例1

如圖1中的(1)、(2)兩個(gè)圖形成軸對稱(chēng)，請畫(huà)出它們的對稱(chēng)軸。

錯解：

如圖1所示的直線(xiàn)MN

剖析：

沿直線(xiàn)MN對折，在直線(xiàn)MN兩旁的圖形的確可以互相重合，但這里要求的是畫(huà)(1)、(2)的對稱(chēng)軸，而MN并不是這兩個(gè)圖形的對稱(chēng)軸。畫(huà)成軸對稱(chēng)的兩個(gè)圖形的對稱(chēng)軸時(shí)要注意所指的是哪個(gè)兩個(gè)圖形，特別注意當這兩個(gè)圖形本身也是軸對稱(chēng)圖形時(shí)，不要把各自圖形的對稱(chēng)軸作為兩個(gè)圖形的對稱(chēng)軸。

正解：

如圖1所示的直線(xiàn)PQ

誤區2

例2

如圖2，已知A，C兩點(diǎn)關(guān)于BD對稱(chēng)，下列結論：①OA=OC;②OB=OD;③AD=CD;④AB=CB。其中正確的有 (填序號即可).

錯解：

填①②③④.

剖析：

錯解“A，C兩點(diǎn)關(guān)于BD對稱(chēng)”錯誤理解為“AC，BD互相垂直平分”，實(shí)際上OA=OC，AB=CB，AD=CD成立，但OB=OD不一定成立。

正解：

填①③④.

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