反比例函數在初中數學(xué)的函數學(xué)習中，占據著(zhù)較為重要的位置。下面我們來(lái)梳理一下有關(guān)反比例函數的知識:

反比例函數的基本內容

定義:

如果兩個(gè)變量x，y之間的對應關(guān)系可以表示成y=k/x(k為常數，k≠0)的形式，那么稱(chēng)y是x的反比例函數。函數表達式為：

◆ y=k/x

◆ y=kxˉ1

◆ xy=k

注意：反比例函數成立的條件是：k為常數且k≠0。該條件同時(shí)成立，同學(xué)在解題過(guò)程中往往容易忽視其成立條件，從而在取值范圍的確定中易出錯。

函數的增減性:

當k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限內，y隨x的增大而減小;

當k<0時(shí)，圖象分別位于二、四象限，同一個(gè)象限內,y隨x的增大而增大。

性質(zhì)：

(1)反比例函數上任何一點(diǎn)與軸線(xiàn)圍城的直角三角形面積都相等|k|/2;

(2)圖像上任意兩點(diǎn)與原點(diǎn)構成的三角形的面積等于直角梯形的面積;

(3)反比例函數與一次函數相交時(shí)，存在線(xiàn)段相等的關(guān)系，坐標點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)的關(guān)系;

(4)反比例與一次函數有交點(diǎn)時(shí)，可以聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(二次聯(lián)立可以求一元二次方程，反映方程根的個(gè)數問(wèn)題)。

反比例函數�？碱}型

結合近幾年的考情分析，反比例函數往往出現在填空題和解答題中，其出題類(lèi)型一般與一次函數、三角函數、相似、全等、圓等相結合，成為學(xué)生的“一大障礙”，但是其單獨出題時(shí)，相對簡(jiǎn)單。

判斷函數圖像

① 看系數：一次函數只有一個(gè)未知數a;

注意：若一次函數的一次項系數與反比例函數的反比例系數正負相同，直線(xiàn)與雙曲的兩支都有交點(diǎn)。

② 找矛盾：通常需要運用排除法，排除錯誤選項得到正確答案。反比例函數只有一個(gè)未知數，因此常從反比例函數的圖象入手進(jìn)行判斷。如果a>0，反比例函數圖像在第一、三象限，如果a<0，反比例函數圖象在第二、四象限。

注意：當反比例函數與其他函數相結合出題時(shí)，需要再判斷其他函數圖象經(jīng)過(guò)的象限就可確定其函數圖像。

求解析式一般需要求出函數圖象上的點(diǎn)的坐標，函數解析式上有幾個(gè)未知數，就要找幾個(gè)點(diǎn)。

函數圖像繪制步驟：列表---描點(diǎn)---連線(xiàn)

(1)列表取值時(shí)，x≠0，因為x=0函數無(wú)意義，為了使描出的點(diǎn)具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對稱(chēng)式取值，即正、負數各一半，且互為相反數，這樣也便于求y值。

(2)由于函數圖象的特征還不清楚，盡量多取一些數值，多描一些點(diǎn)，從而便于連線(xiàn)，使畫(huà)出的圖象更精確。

(3)連線(xiàn)時(shí)要用平滑的曲線(xiàn)按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫(huà)成折線(xiàn)。

因為解析式中，x不能為0，所以y也不能為0，反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，但隨著(zhù)x無(wú)限增大或是無(wú)限減少，函數值無(wú)限趨近于0，故圖像無(wú)限接近于x軸。

涉及交點(diǎn)情況

■ 找交點(diǎn)及交點(diǎn)個(gè)數：已知交點(diǎn)的某一橫坐標，代入即可求出其縱坐標，反之亦然;當要求交點(diǎn)坐標時(shí)，將反比例函數與一次函數聯(lián)立方程組，進(jìn)行求解;

■ 求解交點(diǎn)個(gè)數：將一次函數和反比例函數聯(lián)立方程組的解的個(gè)數就是交點(diǎn)個(gè)數。

■ 求解析式：求解析式一般需要函數圖像上的點(diǎn)的坐標，函數圖像上有幾個(gè)未知數，一般需要找幾個(gè)點(diǎn)。反比例函數的綜合應用中，通常尋找交點(diǎn)的坐標，從而得出解析式并分別求得解析式中的常數值。

涉及面積的運用

坐標系中的圖形面積問(wèn)題最基本的圖形為三角形，解答核心是要把點(diǎn)坐標轉化為線(xiàn)段長(cháng)度。

▼ 若三角形有一邊在坐標軸上，通常以這條邊作為三角形的底邊。

▼ 三邊都不在坐標軸上，需要對圖形進(jìn)行割補。

▼ 在前文性質(zhì)1和2中，我們提到有關(guān)反比例函數面積的性質(zhì)，此外，我們需要了解的是有關(guān)反比例函數y=k/x(k為常數且k≠0)中|k|的幾何意義：過(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)引x軸、y軸的垂線(xiàn)，所得的矩形面積為|k|。

▼ 如果題目中給出線(xiàn)段比例和四邊形的面積求k問(wèn)題，利用同底等高三角形面積與高之間的關(guān)系，以及面積與k之間的關(guān)系，求出k。

注意：反比例函數圖象是一種特殊的圖形，它的兩個(gè)分支既關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，又關(guān)于直線(xiàn)Y=X、Y=-X對稱(chēng)，因此我們做題時(shí)要充分利用反比例函數的對稱(chēng)性來(lái)解題。

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