一、基本原理、方法和步驟

1.1、基本公式或原理

路程 = 速度×時(shí)間

速度 = 路程÷時(shí)間

時(shí)間 = 路程÷速度

看，其實(shí)追及相遇問(wèn)題就是翻來(lái)覆去用這個(gè)公式。

1.2、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟為：

①找出等量關(guān)系式 ②設未知數 ③列方程 ④解方程 ⑤檢驗。這五步，可以簡(jiǎn)化為五個(gè)字：“找、設、列、解、檢”來(lái)記憶。

1.3、找等量關(guān)系

用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題，最關(guān)鍵也是最要的，就是第一步“找等量關(guān)系”，那么對于追及和相遇問(wèn)題，我們可以發(fā)現通常有以下等量關(guān)系：

1)相遇問(wèn)題即相向而行，等量關(guān)系：雙方所走路程之和=全部路程;

2)追及問(wèn)題即同向而行，等量關(guān)系：雙方行程的差=原來(lái)的路程(開(kāi)始時(shí)雙方相距的路程) = 追趕者走的路程 - 被追趕者走的路程.

3)航行問(wèn)題(飛行問(wèn)題)

船的航行問(wèn)題，等量關(guān)系：

①船在靜水中速度+水速=船的順水速度;②船在靜水中速度-水速=船的逆水速度。

飛機的飛行問(wèn)題，等量關(guān)系：

①飛機的飛行速度+風(fēng)速=飛機順風(fēng)時(shí)的速度;②飛機的飛行速度-風(fēng)速=飛機逆風(fēng)時(shí)的速度;

4)環(huán)形跑道問(wèn)題：①甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時(shí)同地同向出發(fā)，等量關(guān)系：快的 - 慢的 = 多跑一圈或幾圈的路程。②甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時(shí)同地反向出發(fā)，等量關(guān)系：雙方所跑路程之和 = 環(huán)形跑道一圈的長(cháng)度。

5)往返問(wèn)題，等量關(guān)系：去時(shí)路程 = 回時(shí)路程

6)回聲問(wèn)題，等量關(guān)系：聲音速度×時(shí)間 = 聲音從發(fā)出地至碰到障礙物再返回聲音接收地路程之和。

7)接力問(wèn)題，等量關(guān)系：甲路程+乙路程 = 全部路程 或者 甲完成量+乙完成量 = 全部完成量

二、例題詳解

2.1、相遇問(wèn)題

例1、甲、乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一條路線(xiàn)相向勻速行駛，已知出發(fā)后3 h兩人相遇，相遇時(shí)乙比甲多行駛了60 km，相遇后再經(jīng)1 h乙到達A地.

(1)甲、乙兩人的速度分別是多少?

(2)兩人從A，B兩地同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過(guò)多長(cháng)時(shí)間兩人相距20 km?

解：(1)解法一：設甲的速度為xkm/h，易得乙的速度為(x+20)km/h.

根據題意，得3x+3(x+20)=4(x+20)，

解得x=10.

則x+20=30.

答：甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h.

解法二：設相遇時(shí)乙行了3ykm，那么甲行了ykm

根據題意：3y-y = 2y =60

解得y=30km

所以甲的速度為30÷3=10km/h，乙的速度為30 km/h.

(2)設經(jīng)過(guò)th兩人相距20 km.

①相遇前相距20 km時(shí)，可得方程10t+30t+20=4×30，

解得t=2.5;

②相遇后相距20 km時(shí)，可得方程10t+30t=4×30+20，

解得t=3.5.

答：經(jīng)過(guò)2.5 h或3.5 h兩人相距20 km.

2.2、追及問(wèn)題

例2、甲、乙兩站間的路程為360千米，一列慢車(chē)從甲站開(kāi)出，每小時(shí)行駛48千米，一列快車(chē)從乙站開(kāi)出，每小時(shí)行駛88千米.兩列火車(chē)同時(shí)開(kāi)出，同向而行，慢車(chē)在前，快車(chē)在后，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾小時(shí)快車(chē)追上慢車(chē)?

解：設經(jīng)過(guò)x小時(shí)，快車(chē)追上慢車(chē).(88-48)·x=360，x=9.所以經(jīng)過(guò)9小時(shí)快車(chē)追上慢車(chē)

2.3、航行問(wèn)題

例3、一艘船航行于A(yíng)，B兩碼頭之間，順水航行需3小時(shí)，逆水航行需5小時(shí)，已知水流速度是4千米/時(shí)，求這兩個(gè)碼頭之間的距離.

解：設船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，3(x+4)=5(x-4)，x=16.則3×(16+4)=60(千米).所以這兩個(gè)碼頭之間的距離為60千米.

2.4、環(huán)形跑道問(wèn)題

例4、甲、乙二人在300m長(cháng)的環(huán)形跑道上練習長(cháng)跑，甲的速度是6m/s，乙的速度是7m/s.

(1)如果甲、乙二人同地背向跑，乙先跑2s，然后甲再跑，那么甲跑多少秒后甲、乙二人第一次相遇?

(2)如果甲、乙二人同時(shí)同地同向跑，乙跑幾圈后能首次追上甲?

解：(1)設甲跑xs后甲、乙二人第一次相遇，依題意，得7×2+7x+6x=300，解得x=22，所以甲跑22s后甲、乙二人第一次相遇.

(2)設經(jīng)過(guò)ys后，乙能首次追上甲，依題意，得7y-6y=300，解得y=300.因為乙跑一圈需300/7s，所以乙跑了300÷(300/7)=7(圈).故乙跑7圈后能首次追上甲.

例5、甲、乙兩人在操場(chǎng)上練習競走，已知操場(chǎng)一周為300m，甲每分鐘走100m，乙每分鐘走60m，現在兩人同時(shí)同地同向出發(fā)xmin后第一次相遇，則下列方程中錯誤的是( )

A. (100-60)x=300 B. 100x=300+60x

C. x/3-x/5=1 D. 100x+300=60x

答案：D

2.5、往返問(wèn)題

例6、春節假期，小陳駕車(chē)從珠海出發(fā)到香港，去時(shí)在港珠澳大橋上用了40分鐘，返回時(shí)平均速度提高了25千米/小時(shí)，在港珠澳大橋上的用時(shí)比去時(shí)少了10分鐘，求小陳去時(shí)的平均速度，設他去時(shí)駕車(chē)的平均速度為x千米/小時(shí)，則可列方程為

解：設他去時(shí)駕車(chē)的平均速度為x千米/小時(shí)，則返回時(shí)駕車(chē)的平均速度為(x+25)千米/小時(shí)，

依題意，得：(2/3)x=(x+25)/2.

故答案為：(2/3)x=(x+25)/2.

2.6、回聲問(wèn)題

例7、一輛貨運小汽車(chē)以15米/秒的速度向對面山谷行駛，司機鳴一下喇叭，4秒后聽(tīng)到回響，這時(shí)汽車(chē)離山谷( )米(已知空氣中聲音的傳播速度約為340米/秒)

解：設此時(shí)汽車(chē)離山谷x米，

聲音從發(fā)出地至碰到障礙物再返回聲音接收地路程之和= 2x + 4×15

聲音速度×時(shí)間 = 340×4

根據等量關(guān)系有：2x + 4×15 = 340×4

解得x= 650米

2.7、接力問(wèn)題

例8、某地為了打造風(fēng)光帶，將一段長(cháng)為360 m的河道整治任務(wù)交給甲、乙兩個(gè)工程隊接力完成，共用時(shí)20天.已知甲工程隊每天整治24 m，乙工程隊每天整治16 m，求甲、乙兩個(gè)工程隊分別整治了多長(cháng)的河道.

解：設甲工程隊整治了x天，則乙工程隊整治了(20-x)天.

由題意，得24x+16(20-x)=360，

解得x=5.

所以乙工程隊整治了20-5=15(天).

甲工程隊整治的河道長(cháng)為24×5=120 (m)，

乙工程隊整治的河道長(cháng)為16×15=240 (m).

答：甲、乙兩個(gè)工程隊分別整治了120 m，240 m的河道.

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