一、相似、全等的關(guān)系

全等和相似是平面幾何中研究直線(xiàn)形性質(zhì)的兩個(gè)重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣.因而學(xué)習相似形要隨時(shí)與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區別;相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎.

二、相似三角形

(1)三角形相似的條件：

①;②;③.

三、兩個(gè)三角形相似的六種圖形：

四、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：

1)先找兩對內角對應相等(對平行線(xiàn)型找平行線(xiàn))，因為這個(gè)條件最簡(jiǎn)單;

2)再而先找一對內角對應相等，且看夾角的兩邊是否對應成比例;

3)若無(wú)對應角相等，則只考慮三組對應邊是否成比例;

五、“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線(xiàn)段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來(lái)確定三角形的方法

例1、已知:如圖,ΔABC中,­CE⊥AB,BF⊥AC.

求證:

例2、如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，∠BAC的

平分線(xiàn)分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，AC·AE=AF·AB嗎?

說(shuō)明理由。

分析方法：

1)先將積式______________

2)______________( “橫定”還是“豎定”? )

六、過(guò)渡法(或叫代換法)

有些習題無(wú)論如何也構造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運用“過(guò)渡”，其主要類(lèi)型有三種，下面分情況說(shuō)明.

1、 等量過(guò)渡法(等線(xiàn)段代換法)

遇到三點(diǎn)定形法無(wú)法解決欲證的問(wèn)題時(shí)，即如果線(xiàn)段比例式中的四條線(xiàn)段都在圖形中的同一條直線(xiàn)上，不能組成三角形，或四條線(xiàn)段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據已知條件找到與比例式中某條線(xiàn)段相等的一條線(xiàn)段來(lái)代替這條線(xiàn)段，如果沒(méi)有，可考慮添加簡(jiǎn)單的輔助線(xiàn)。然后再應用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當，問(wèn)題往往可以得到解決。當然，還要注意最后將代換的線(xiàn)段再代換回來(lái)。

例1：如圖3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分線(xiàn)FE交BC的延長(cháng)線(xiàn)于E.求證：DE2=BE·CE.

分析：

1、 等比過(guò)渡法(等比代換法)

當用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無(wú)等線(xiàn)段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線(xiàn)段的比為比例式搭橋，也就是通過(guò)對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來(lái)確定三角形。

例2：如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(cháng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

求證：

3、等積過(guò)渡法(等積代換法)

思考問(wèn)題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過(guò)三角形相似推出線(xiàn)段成比例;若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量(線(xiàn)段)代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。

小結：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似;

不相似，不用急：等線(xiàn)等比來(lái)代替。”

七、證比例式和等積式的方法：

對線(xiàn)段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線(xiàn)段替換法、中間比過(guò)渡法、面積法等.若比例式或等積式所涉及的線(xiàn)段在同一直線(xiàn)上時(shí)，應將線(xiàn)段比“轉移”(必要時(shí)需添輔助線(xiàn))，使其分別構成兩個(gè)相似三角形來(lái)證明.

可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系; 三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線(xiàn)取平截;

平行線(xiàn)，轉比例，等線(xiàn)等比來(lái)代替; 兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪.

例1　如圖5在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF⊥AB于F，交AC的延長(cháng)線(xiàn)于H，交BE于G，求證：(1)FG/FA=FB/FH(2)FD是FG與FH的比例中項.

1說(shuō)明：證明線(xiàn)段成比例或等積式，通常是借證三角形相似.找相似三角形用三點(diǎn)定形法(在比例式中，或橫著(zhù)找三點(diǎn)，或豎著(zhù)找三點(diǎn))，若不能找到相似三角形，應考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換

八、確定證明的切入點(diǎn)。幾何證明題的證明方法主要有三個(gè)方面。第一，從“已知”入手，通過(guò)推理論證，得出“求證”;第二，從“求證”入手，通過(guò)分析，不斷尋求“證據”的支撐，一直追溯回到“已知”;第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過(guò)分析找到中間“橋梁”，使之成為清晰的思維過(guò)程。

九、相似三角形中的輔助線(xiàn)

在添加輔助線(xiàn)時(shí)，所添加的輔助線(xiàn)往往能夠構造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線(xiàn)段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計算找到等量關(guān)系。主要的輔助線(xiàn)有以下幾種：

一、作平行線(xiàn)

二、作延長(cháng)線(xiàn)

三、作中線(xiàn)

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