知識點(diǎn)總結

 

　　一、特殊的平行四邊形

 

　　1.矩形：

 

　�。�1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形。

 

　�。�2）性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對角線(xiàn)平分且相等。

 

　�。�3）判定定理：

 

　�、儆幸粋�(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。②對角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形。③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

 

　　直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半。

 

　　2.菱形：

 

　�。�1）定義 ：鄰邊相等的平行四邊形。

 

　�。�2）性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對角線(xiàn)平分一組對角。

 

　�。�3）判定定理：

 

　�、僖唤M鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

 

　�、趯�角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形。

 

　�、鬯臈l邊相等的四邊形是菱形。

 

　�。�4）面積：

 

　　3.正方形：

 

　�。�1）定義：一個(gè)角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。

 

　�。�2）性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，對角線(xiàn)互相垂直平分。 正方形既是矩形，又是菱形。

 

　�。�3）正方形判定定理：

 

　�、賹�角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；

 

　�、谝唤M鄰邊相等，一個(gè)角為直角的平行四邊形是正方形；

 

　�、蹖�角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形；

 

　�、茑忂呄嗟鹊木匦问钦�方形

 

　�、萦幸粋�(gè)角是直角的菱形是正方形；

 

　�、迣�角線(xiàn)相等的菱形是正方形。

 

　　二、矩形、菱形、正方形與平行四邊形、四邊形之間的聯(lián)系：

 

　　1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，其性質(zhì)都是在平行四邊形的基礎上擴充來(lái)的。矩形是由平行四邊形增加“一個(gè)角為90°”的條件得到的，它在角和對角線(xiàn)方面具有比平行四邊形更多的特性；菱形是由平行四邊形增加“一組鄰邊相等”的條件得到的，它在邊和對角線(xiàn)方面具有比平行四邊形更多的特性；正方形是由平行四邊形增加“一組鄰邊相等”和“一個(gè)角為90°”兩個(gè)條件得到的，它在邊、角和對角線(xiàn)方面都具有比平行四邊形更多的特性。

 

　　2.矩形、菱形的判定可以根據出發(fā)點(diǎn)不同而分成兩類(lèi)：一類(lèi)是以四邊形為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行判定，另一類(lèi)是以平行四邊形為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行判定。而正方形除了上述兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)外，還可以從矩形和菱形出發(fā)進(jìn)行判定。

 

　　三、判定一個(gè)四邊形是特殊四邊形的步驟：

 

　　常見(jiàn)考法

 

　�。�1）利用菱形、矩形、正方形的性質(zhì)進(jìn)行邊、角以及面積等計算；

 

　�。�2）靈活運用判定定理證明一個(gè)四邊形（或平行四邊形）是菱形、矩形、正方形；

 

　�。�3）一些折疊問(wèn)題；

 

　�。�4）矩形與直角三角形和等腰三角形有著(zhù)密切聯(lián)系、正方形與等腰直角三角形也有著(zhù)密切聯(lián)系。所以，以此為背景可以設置許多考題。

 

　　誤區提醒

 

　�。�1）平行四邊形的所有性質(zhì)矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性質(zhì)平行四邊形不一定具有，這點(diǎn)易出現混淆；

 

　�。�2）矩形、菱形具有的性質(zhì)正方形都具有，而正方形具有的性質(zhì)，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，這點(diǎn)也易出現混淆；

 

　�。�3）不能正確的理解和運用判定定理進(jìn)行證明，（如在證明菱形時(shí)，把四條邊相等的四邊形是菱形誤解成兩組鄰邊相等的四邊形是菱形）；（3）再利用對角線(xiàn)長(cháng)度求菱形的面積時(shí)，忘記乘；（3）判定一個(gè)四邊形是特殊的平行四邊形的條件不充分。

 

　　【典型例題】（2010天門(mén)、潛江、仙桃）正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線(xiàn)DB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是DB所在直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.

 

　　(1)當點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)(如圖①)，猜測AP與EF的數量及位置關(guān)系，并證明你的結論；

 

　　(2)當點(diǎn)P在線(xiàn)段DB上 (不與點(diǎn)D、O、B重合)時(shí)(如圖②)，探究(1)中的結論是否成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請說(shuō)明理由；

 

　　(3)當點(diǎn)P在DB的長(cháng)延長(cháng)線(xiàn)上時(shí)，請將圖③補充完整，并判斷(1)中的結論是否成立？若成立，直接寫(xiě)出結論；若不成立，請寫(xiě)出相應的結論.

 

 

　　【解析】（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：

 

　　連接AC，則AC必過(guò)點(diǎn)O，延長(cháng)FO交AB于M；

 

　　∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四邊形ABCD是正方形，

 

　　∴四邊形OECF是正方形，

 

　　∴OM=OF=OE=AM，

 

　　∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，

 

　　∴△AMO≌△FOE，

 

　　∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，

 

　　故AP=EF，且AP⊥EF.

 

　�。�2）題（1）的結論仍然成立，理由如下：

 

　　延長(cháng)AP交BC于N，延長(cháng)FP交AB于M；

 

　　∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，

 

　　∴四邊形MBEP是正方形，

 

　　∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；

 

　　又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，

 

　　∴AM=PF，

 

　　∴△AMP≌△FPE，

 

　　∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF

 

　　∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，

 

　　∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，

 

　　故AP=EF，且AP⊥EF．

 

　�。�3）題（1）（2）的結論仍然成立；

 

　　如右圖，延長(cháng)AB交PF于H，證法與（2）完全相同