初中數學(xué)四邊形知識點(diǎn)

 

　　一、平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定

 

　　1.兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形.

 

　　2.性質(zhì)：(1)平行四邊形的對邊相等且平行;(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補;(3)平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分.

 

　　3.判定：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;(5)對角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形.

 

　　4.對稱(chēng)性：平行四邊形是中心對稱(chēng)圖形.

 

　　二、矩形的定義、性質(zhì)及判定

 

　　1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

 

　　2.性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線(xiàn)相等.

 

　　3.判定：(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形;(2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;(3)兩條對角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形.

 

　　4.對稱(chēng)性：矩形是軸對稱(chēng)圖形也是中心對稱(chēng)圖形.

 

　　三、菱形的定義、性質(zhì)及判定

 

　　1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

 

　　2.性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等;(2)菱形的對角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對角線(xiàn)平分一組對角;(3)菱形被兩條對角線(xiàn)分成四個(gè)全等的直角三角形;(4)菱形的面積等于兩條對角線(xiàn)長(cháng)的積的一半：

 

　　3.判定：(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形;(2)四條邊都相等的四邊形是菱形;(3)對角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.

 

　　4.對稱(chēng)性：菱形是軸對稱(chēng)圖形也是中心對稱(chēng)圖形.

 

　　要判定四邊形是菱形的方法是：

 

　　法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。(這就是定義證明)。

 

　　法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線(xiàn)互相垂直。(這是判定定理2)

 

　　法三：只需證出四邊都相等。(這是判定定理1)

 

　　四、正方形定義、性質(zhì)及判定

 

　　1.定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

 

　　2.性質(zhì)：(1)正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等;(2)正方形的兩條對角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對角線(xiàn)平分一組對角;(3)正方形的一條對角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;(4)正方形的對角線(xiàn)與邊的夾角是45°;(5)正方形的兩條對角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.

 

　　3.判定：(1)先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等;(2)先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定出有一個(gè)角是直角.

 

　　4.對稱(chēng)性：正方形是軸對稱(chēng)圖形也是中心對稱(chēng)圖形.

 

　　要判定四邊形是正方形的方法有

 

　　方法一：第一步證出有一組鄰邊相等;第二步證出有一個(gè)角是直角;第三步證出是平行四邊形。(這是用定義證明)

 

　　方法二：第一步證出對角線(xiàn)互相垂直;第二步證出是矩形。(這是判定定理1)

 

　　方法三：第一步證出對角線(xiàn)相等;第二步證出是菱形。(這是判定定理2)

 

　　五、梯形的性質(zhì)及判定

 

　　1.定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形.兩腰相等的梯形是等腰梯形;一腰垂直于底的梯形是直角梯形.

 

　　2.等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形的兩腰相等;同一底上的兩個(gè)角相等;兩條對角線(xiàn)相等;等腰梯形是軸對稱(chēng)圖形.

 

　　3.等腰梯形的判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形;兩條對角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形.

 

　　六、中位線(xiàn)

 

　　三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊并等于第三邊的一半;梯形的中位線(xiàn)平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半.

 

　　1.三角形的中位線(xiàn)：連結三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)。

 

　　說(shuō)明：三角形的中位線(xiàn)與三角形的中線(xiàn)不同。

 

　　2.梯形的中位線(xiàn)：連結梯形兩腰中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做梯形中位線(xiàn)。

 

　　3.三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

 

　　4.梯形中位線(xiàn)定理：梯形中位線(xiàn)平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

 

　　七、重心

 

　　線(xiàn)段的重心是線(xiàn)段的中點(diǎn);平行四邊形的重心是兩對角線(xiàn)的交點(diǎn);三角形的重心是三條中線(xiàn)的交點(diǎn).

 

　　八、中點(diǎn)四邊形

 

　　依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

 

　　九、多邊形的面積

 

　　多邊形的面積常用的求法有：

 

　　(1)將任意一個(gè)平面圖形劃分為若干部分再通過(guò)求部分的面積的和，求出原來(lái)圖形的面積這種方法叫做分割法。

 

　　(2)將一個(gè)平面圖形的某一部分割下來(lái)移放在另一個(gè)適當的位置上，從而改變原來(lái)圖形的形狀。利用計算變形后的圖形的面積來(lái)求原圖形的面積的這種方法。叫做割補法。

 

　　(3)將一個(gè)平面圖形通過(guò)拼補某一圖形，使它變?yōu)榱硪粋�(gè)圖形，利用新的圖形減去所補充圖形的面積，來(lái)求出原來(lái)圖形面積的這種方法叫做拼湊法。

 

　　常見(jiàn)考法

 

　　四邊形與三角形復習要求是能運用這些圖形進(jìn)行鑲嵌，能根據圖形的條件把四邊形面積等分.能夠對特殊四邊形的判定方法與聯(lián)系深刻理解.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性質(zhì)和常用判別方法，特別是梯形添加輔助線(xiàn)的常用方法.掌握三角形中位線(xiàn)和梯形中位線(xiàn)性質(zhì)的推導和應用.

 

　　會(huì )畫(huà)出四邊形全等變換后的圖形，會(huì )結合相關(guān)的知識解題.結合幾何中的其他知識解答一些有探索性、開(kāi)放性的問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力.同時(shí)，四邊形的概念建立在三角形的基礎上，是知識的拓展與深化.研究它的性質(zhì)，常常是將四邊形轉化成若干三角形，通過(guò)三角形的性質(zhì)來(lái)研究，或者是運用作輔助線(xiàn)的方法將四邊形轉化成三角形和平行四邊形來(lái)討論.

 

　　至于矩形、菱形、正方形的性質(zhì)是在平行四邊形的基礎上擴充的.它們的判定方法也是在平行四邊形的基礎上增加一些特定的條件.梯形也是一種特殊的四邊形，它是平行四邊形和三角形知識的綜合.

 

　　通過(guò)適當的添設輔助線(xiàn)，把梯形轉化為三角形、平行四邊形的組合圖形，再運用三角形、平行四邊形的知識解決梯形的有關(guān)問(wèn)題.