在一次《多邊形的內角和》的課堂上，有一個(gè)教學(xué)環(huán)節是這樣設計的：讓學(xué)生思考任意一個(gè)四邊形的內角和是多少?用這種方法能否求五邊形、六邊形等多邊形的內角和?[1]而在課堂上，同學(xué)們給出了許多種求四邊形內角和的方法，雖然有的方法不太適合推廣到五邊形、六邊形，但其中不乏有課前我沒(méi)有意料到的方法，當然我也沒(méi)想到學(xué)生們會(huì )有如此多的方法。為了不打斷學(xué)生的想法，給學(xué)生一個(gè)展示自我的機會(huì )，更為了拓展學(xué)生的思維，我抓住了這一難得的機會(huì )，充分讓學(xué)生展示他們活躍的思維，而把預先準備的一些內容放到了下一節課。我不知道這樣做好不好，但至少有一點(diǎn)，學(xué)生們主動(dòng)地進(jìn)行了觀(guān)察、實(shí)驗、猜測、驗證、推理與交流等數學(xué)活動(dòng)，這是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，增強了學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣，使不同的人在數學(xué)上得到了不同的發(fā)展[2]。下面就一一列舉學(xué)生們的解法，其中解法一～解法五是預先設計的。

 

　　解法一：如圖1，連接AC，四邊形ABCD的內角和等于兩個(gè)三角形內角和的和，即180°×2=360°。

 

　　解法二：如圖2，連接AC、BD，四邊形ABCD的內角和等于四個(gè)三角形內角和的和減去360°，即180°×4-360°=360°。

 

　　解法三：如圖3，在四邊形ABCD內取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內角和等于四個(gè)三角形內角和的和減去360°，即180°×4-360°=360°。

 

　　解法四：如圖4，在BC邊上取一點(diǎn)P，連接PA、PD，四邊形ABCD的內角和等于三個(gè)三角形內角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。

 

　　中考數學(xué)知識點(diǎn),多邊形,內角和

 

　　解法五：如圖5，在四邊形ABCD外取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內角和等于三個(gè)三角形內角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。

 

　　解法六：如圖6，連接BD，延長(cháng)BA至E，延長(cháng)BC至F，∵∠EAD=∠ABD+∠BDA，∠FCD=∠CBD+∠BDC，∴四邊形ABCD的內角和等于(∠EAD+∠BAD)+(∠FCD+∠BCD)=180°+180°=360°。

 

　　解法七：如圖7，過(guò)點(diǎn)A、D分別作BC的平行線(xiàn)AE、DF，則∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADF，∠CDF=∠C，∴四邊形ABCD的內角和等于∠BAD+∠EAB+(∠CDF+∠CDA)=∠BAD+∠EAB+∠ADF =∠BAD+∠EAB+∠EAD =360°。

 

　　解法八：如圖8，過(guò)點(diǎn)A、D分別作BC的垂線(xiàn)AE、DF，垂足分別為E、F，過(guò)點(diǎn)A作DF的垂線(xiàn)AG，垂足為G，則∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠DFB=∠C+∠CDF，∠AGF=∠DAG+∠ADF，∴四邊形ABCD的內角和等于∠AEC+∠DFB+∠AGF+∠EAG=90°×4=360°。

 

　　解法九：若AB//CD，則∠B+∠C=∠A+∠D=180°，∴∠B+∠C+∠A+∠D=360°;若AB不平行于CD，如圖9，不妨設BA、CD的延長(cháng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，∵∠BAD=∠E+∠ADE，∠ADC=∠E+∠EAD，∴∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=(∠B+∠C+∠E)+(∠ADE +∠E+∠EAD) =180°+180°=360°。綜上可得，四邊形ABCD的內角和等于360°

 

　　解法十：連接AC，并延長(cháng)至G，過(guò)點(diǎn)C分別作AD、AB的平行線(xiàn)CE、CF，則∠D=∠DCE，∠DAC=∠ECG，∠BAC=∠FCG，∠B=∠FCB，∴四邊形ABCD的內角和=∠B+∠BAC+∠CAD+∠D+∠BCD =∠FCB+∠FCG +∠ECG +∠DCE +∠BCD =360°。

 

　　以上這些證法中，充分發(fā)揮了學(xué)生的想象力、綜合運用知識的能力，很好地訓練了學(xué)生的思維，體現了“轉化”這一重要數學(xué)思想方法地靈活運用，這一點(diǎn)對學(xué)生的發(fā)展很重要，而這也是新課程標準所倡導的。這堂課可能是一節不合格的課，但我還是希望我們數學(xué)老師能在課堂上不斷探索、試驗，大膽創(chuàng )新，只要我們本著(zhù)新課程的理念，本著(zhù)以學(xué)生的發(fā)展為本，相信中國數學(xué)教育的未來(lái)一定會(huì )取得輝煌的成績(jì)。