一.添輔助線(xiàn)有二種情況：

 

　　1按定義添輔助線(xiàn)：

 

　　如證明二直線(xiàn)垂直可延長(cháng)使它們相交后證交角為90°;證線(xiàn)段倍半關(guān)系可倍線(xiàn)段取中點(diǎn)或半線(xiàn)段加倍;證角的倍半關(guān)系也可類(lèi)似添輔助線(xiàn)。

 

　　2按基本圖形添輔助線(xiàn)：

 

　　每個(gè)幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們

 

　　把它叫做基本圖形，添輔助線(xiàn)往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補完整基本圖形，因此“添線(xiàn)”應該叫做“補圖”!這樣可防止亂添線(xiàn)，添輔助線(xiàn)也有規律可循。舉例如下：

 

　　(1)平行線(xiàn)是個(gè)基本圖形：

 

　　當幾何中出現平行線(xiàn)時(shí)添輔助線(xiàn)的關(guān)鍵是添與二條平行線(xiàn)都相交的等第三條直線(xiàn)

 

　　(2)等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：

 

　　當幾何問(wèn)題中出現一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線(xiàn)段時(shí)往往要補完整等腰三角形。出現角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)組合時(shí)可延長(cháng)平行線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三角形。

 

　　(3)等腰三角形中的重要線(xiàn)段是個(gè)重要的基本圖形：

 

　　出現等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線(xiàn);出現角平分線(xiàn)與垂線(xiàn)組合時(shí)可延長(cháng)垂線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線(xiàn)段的基本圖形。

 

　　(4)直角三角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形

 

　　出現直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線(xiàn)。出現線(xiàn)段倍半關(guān)系且倍線(xiàn)段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線(xiàn)得直角三角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形。

 

　　(5)三角形中位線(xiàn)基本圖形

 

　　幾何問(wèn)題中出現多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線(xiàn)基本圖形進(jìn)行證明當有中點(diǎn)沒(méi)有中位線(xiàn)時(shí)則添中位線(xiàn)，當有中位線(xiàn)三角形不完整時(shí)則需補完整三角形;當出現線(xiàn)段倍半關(guān)系且與倍線(xiàn)段有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形;當出現線(xiàn)段倍半關(guān)系且與半線(xiàn)段的端點(diǎn)是某線(xiàn)段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線(xiàn)段的端點(diǎn)添半線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形。

 

　　(6)全等三角形：

 

　　全等三角形有軸對稱(chēng)形，中心對稱(chēng)形，旋轉形與平移形等;如果出現兩條相等線(xiàn)段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線(xiàn)成軸對稱(chēng)就可以添加軸對稱(chēng)形全等三角形：或添對稱(chēng)軸，或將三角形沿對稱(chēng)軸翻轉。當幾何問(wèn)題中出現一組或兩組相等線(xiàn)段位于一組對頂角兩邊且成一直線(xiàn)時(shí)可添加中心對稱(chēng)形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結或過(guò)二端點(diǎn)添平行線(xiàn)

 

　　(7)相似三角形：

 

　　相似三角形有平行線(xiàn)型(帶平行線(xiàn)的相似三角形)，相交線(xiàn)型，旋轉型;當出現相比線(xiàn)段重疊在一直線(xiàn)上時(shí)(中點(diǎn)可看成比為1)可添加平行線(xiàn)得平行線(xiàn)型相似三角形。若平行線(xiàn)過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線(xiàn)段為平行方向，這類(lèi)題目中往往有多種淺線(xiàn)方法。

 

　　(8)特殊角直角三角形

 

　　當出現30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2;30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進(jìn)行證明

 

　　(9)半圓上的圓周角

 

　　出現直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角;出現90度的圓周角則添它所對弦---直徑;平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。

 

　　二.基本圖形的輔助線(xiàn)的畫(huà)法

 

　　1.三角形問(wèn)題添加輔助線(xiàn)方法

 

　　方法1：有關(guān)三角形中線(xiàn)的題目，常將中線(xiàn)加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線(xiàn)，通過(guò)這種方法，把要證的結論恰當的轉移，很容易地解決了問(wèn)題。

 

　　方法2：含有平分線(xiàn)的題目，常以角平分線(xiàn)為對稱(chēng)軸，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問(wèn)題。

 

　　方法3：結論是兩線(xiàn)段相等的題目常畫(huà)輔助線(xiàn)構成全等三角形，或利用關(guān)于平分線(xiàn)段的一些定理。

 

　　方法4：結論是一條線(xiàn)段與另一條線(xiàn)段之和等于第三條線(xiàn)段這類(lèi)題目，常采用截長(cháng)法或補短法，所謂截長(cháng)法就是把第三條線(xiàn)段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線(xiàn)段，而另一部分等于第二條線(xiàn)段。

 

　　2.平行四邊形中常用輔助線(xiàn)的添法

 

　　平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線(xiàn)都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線(xiàn)方法上也有共同之處，目的都是造就線(xiàn)段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：

 

　　(1)連對角線(xiàn)或平移對角線(xiàn)：

 

　　(2)過(guò)頂點(diǎn)作對邊的垂線(xiàn)構造直角三角形

 

　　(3)連接對角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對角線(xiàn)交點(diǎn)作一邊的平行線(xiàn)，構造線(xiàn)段平行或中位線(xiàn)

 

　　(4)連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線(xiàn)段或延長(cháng)這條線(xiàn)段，構造三角形相似或等積三角形。

 

　　(5)過(guò)頂點(diǎn)作對角線(xiàn)的垂線(xiàn)，構成線(xiàn)段平行或三角形全等.

 

　　3.梯形中常用輔助線(xiàn)的添法

 

　　梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過(guò)添加適當的輔助線(xiàn)將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線(xiàn)的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線(xiàn)有：

 

　　(1)在梯形內部平移一腰。

 

　　(2)梯形外平移一腰

 

　　(3)梯形內平移兩腰

 

　　(4)延長(cháng)兩腰

 

　　(5)過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高

 

　　(6)平移對角線(xiàn)

 

　　(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。

 

　　(8)過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線(xiàn)。

 

　　(9)作中位線(xiàn)

 

　　當然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線(xiàn)并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線(xiàn)這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

 

　　4.圓中常用輔助線(xiàn)的添法

 

　　在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當的輔助線(xiàn)，架起題設和結論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線(xiàn)的一般規律和常見(jiàn)方法，對提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。

 

　　(1)見(jiàn)弦作弦心距

 

　　有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距(有時(shí)還須作出相應的半徑)，通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設與結論間的聯(lián)系。

 

　　(2)見(jiàn)直徑作圓周角

 

　　在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題。

 

　　(3)見(jiàn)切線(xiàn)作半徑

 

　　命題的條件中含有圓的切線(xiàn)，往往是連結過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線(xiàn)與半徑垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。

 

　　(4)兩圓相切作公切線(xiàn)

 

　　對兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)或作它們的連心線(xiàn)，通過(guò)公切線(xiàn)可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

 

　　(5)兩圓相交作公共弦

 

　　對兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。