N倍角公式

 

　　根據棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ) 為方便描述，令sinθ=s，cosθ=c 考慮n為正整數的情形： cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... +C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... =>比較兩邊的實(shí)部與虛部 實(shí)部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*(虛部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... 對所有的自然數n， 1. cos(nθ)： 公式中出現的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。 2. sin(nθ)： (1)當n是奇數時(shí)： 公式中出現的c都是偶次方，而c^2=1-s^2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。 (2)當n是偶數時(shí)： 公式中出現的c都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方關(guān)系)，因此即使再怎么換成s，都至少會(huì )剩c(也就是 cosθ)的一次方無(wú)法消掉。 (例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)