31、塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設△ABC的內切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)。

　　32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(cháng)線(xiàn)作垂線(xiàn)，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線(xiàn)，（這條直線(xiàn)叫西摩松線(xiàn)）

　　33、西摩松定理的逆定理：（略）

　　34、史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線(xiàn)通過(guò)線(xiàn)段PH的中心。

　　35、史坦納定理的應用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱(chēng)點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線(xiàn)平行的）直線(xiàn)上。這條直線(xiàn)被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線(xiàn)。

　　36、波朗杰、騰下定理：設△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).

　　37、波朗杰、騰下定理推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線(xiàn)交于與前相同的一點(diǎn)

　　38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線(xiàn)的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線(xiàn)段的中點(diǎn)。

　　39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)，如設QR為垂直于這條西摩松線(xiàn)該外接圓珠筆的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)

　　40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線(xiàn)，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)。

　　41、關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

　　42、關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)，這些西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)。

　　43、卡諾定理：通過(guò)△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線(xiàn)PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)。

　　44、奧倍爾定理：通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線(xiàn)，設它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(cháng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)

　　45、清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異于A(yíng)、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱(chēng)點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(cháng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)

　　46、他拿定理：設P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱(chēng)點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長(cháng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別為ED、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)。（反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(cháng)線(xiàn)的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP則稱(chēng)P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)）

　　47、朗古來(lái)定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線(xiàn)，再從P向這4條西摩松線(xiàn)引垂線(xiàn)，則四個(gè)垂足在同一條直線(xiàn)上。

　　48、九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)［連結三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線(xiàn)段的中點(diǎn)］九點(diǎn)共圓［通常稱(chēng)這個(gè)圓為九點(diǎn)圓［nine-pointcircle］,或歐拉圓,費爾巴哈圓.

　　49、一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線(xiàn)所引的垂線(xiàn)都交于一點(diǎn)。

　　50、康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線(xiàn)所引的垂線(xiàn)共點(diǎn)。

　　51、康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線(xiàn)上。這條直線(xiàn)叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)。

　　52、康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。

　　53、康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線(xiàn)上。這條直線(xiàn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線(xiàn)。

　　54、費爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內切圓和旁切圓相切。

　　55、莫利定理：將三角形的三個(gè)內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線(xiàn)相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱(chēng)作莫利正三角形。

　　56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長(cháng)線(xiàn)的交點(diǎn)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)和兩條對角線(xiàn)的中點(diǎn)，三條共線(xiàn)。這條直線(xiàn)叫做這個(gè)四邊形的牛頓線(xiàn)。

　　57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線(xiàn)的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線(xiàn)。

　　58、笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對應邊或其延長(cháng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)。

　　59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對應邊或其延長(cháng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)。

　　60、布利安松定理：連結外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線(xiàn)共點(diǎn)。

　　60、巴斯加定理：圓內接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長(cháng)線(xiàn)的）交點(diǎn)共線(xiàn)。

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