難度：★★★  考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)

　　已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過(guò)A，B向直線(xiàn)CP作垂線(xiàn)，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點(diǎn)．

   

　�。�1）如圖1，當點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是（），QE與QF的數量關(guān)系式（）；

　�。�2）如圖2，當點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數量關(guān)系，并給予證明；

　�。�3）如圖3，當點(diǎn)P在線(xiàn)段BA（或AB）的延長(cháng)線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)（2）中的結論是否成立？請畫(huà)出圖形并給予證明．

　　考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線(xiàn)．

　　分析：（1）證△BFQ≌△AEQ即可；

　�。�2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)求出即可；

　�。�3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)求出即可．

　　解答：解：（1）AE∥BF，QE=QF，

　　理由是：如圖1，∵Q為AB中點(diǎn)，

　　∴AQ=BQ，

　　∵BF⊥CP，AE⊥CP，

　　∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，

　　在△BFQ和△AEQ中

　　∠BFQ＝∠AEQ

　　∠BQF＝∠AQE

　　BQ＝AQ

　　∴△BFQ≌△AEQ（AAS），

　　∴QE=QF，

　　故答案為：AE∥BF，QE=QF．

　�。�2）QE=QF，

　　證明：如圖2，延長(cháng)FQ交AE于D，

　　∵AE∥BF，

　　∴∠QAD=∠FBQ，

　　在△FBQ和△DAQ中

　　∠FBQ＝∠DAQ

　　AQ＝BQ

　　∠BQF＝∠AQD

　　∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

　　∴QF=QD，

　　∵AE⊥CP，

　　∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線(xiàn)，

　　∴QE=QF=QD，

　　即QE=QF．

   

　�。�3）（2）中的結論仍然成立，

　　證明：如圖3，

　　延長(cháng)EQ、FB交于D，

　　∵AE∥BF，

　　∴∠1=∠D，

　　在△AQE和△BQD中

　　∠1＝∠D

　　∠2＝∠3

　　AQ＝BQ

　　∴△AQE≌△BQD（AAS），

　　∴QE=QD，

　　∵BF⊥CP，

　　∴FQ是斜邊DE上的中線(xiàn)，

　　∴QE=QF．

　　點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)的應用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．