摘要：作弦AB的垂直平分線(xiàn)，分別交-、弦AB于C、D兩點(diǎn)。則CD為弓形的高，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線(xiàn)CD上，設圓心O在如圖所示的位置，半徑為r，連結BD，在Rt△BDO中，BD=3，BO=r，OD=r-1，由勾股定理得32+(r-1)2=r2，解得r=5。答案：5……

       如何正確運用垂徑定理

　　例1.如圖，弓形弦AB=6，弓形高為1，則其所在圓的半徑為_(kāi)____。

　�。劢馕觯荩鹤飨褹B的垂直平分線(xiàn)，分別交-、弦AB于C、D兩點(diǎn)。則CD為弓形的高，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線(xiàn)CD上，設圓心O在如圖所示的位置，半徑為r，連結BD，在Rt△BDO中，BD=3，BO=r，OD=r-1，由勾股定理得32+(r-1)2=r2，解得r=5。答案：5

　�。埸c(diǎn)評］：此題運用了“垂直弦、平分弦就過(guò)圓心且過(guò)弧的中點(diǎn)”的垂徑定理的推論。

　　例2.已知⊙O的半徑為2cm，弦AB長(cháng)為2-cm，則這條弦的中點(diǎn)到弦所對劣弧的中點(diǎn)的距離為_(kāi)____。

　�。劢馕觯荩喝鐖D，取弧AB的中點(diǎn)C，弦AB的中點(diǎn)D，連結CD并延長(cháng)，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線(xiàn)CD上，且OC⊥AB。在Rt△ADO中，AD=-，AO=2，由勾股定理可求得OD=1，∴弦的中點(diǎn)到弦所對劣弧的中點(diǎn)的距離CD=2-1=1。

　　答案：1

　�。埸c(diǎn)評］：此題運用了“過(guò)弧的中點(diǎn)、過(guò)弦的中點(diǎn)就過(guò)圓心且垂直于弦”的垂徑定理的推論。

　　例3.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB為8，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，若OP的長(cháng)為整數，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有____個(gè)。

　�。劢馕觯荩哼^(guò)O點(diǎn)作OC⊥AB于C，由垂徑定理可得AC=BC=4，在Rt△ACO中，由勾股定理可求得OC=3，由P點(diǎn)在線(xiàn)段AB上的位置可知當P點(diǎn)運動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，OP最短且長(cháng)為整數3，當P點(diǎn)運動(dòng)到A、B兩點(diǎn)時(shí)，OP最長(cháng)且長(cháng)為整數5，由于數軸上的點(diǎn)與實(shí)數具有一一對應的關(guān)系，可知A點(diǎn)和C點(diǎn)之間必存在一點(diǎn)P，使OP的長(cháng)為4，同理B點(diǎn)和C點(diǎn)之間也存在一點(diǎn)P，使OP的長(cháng)為4。

　　∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P一共有5個(gè)。

　　答案：5

　�。埸c(diǎn)評］：此題運用了“過(guò)圓心、垂直弦，就平分弦”的垂徑定理
　　例7.如圖，⊙O的兩條弦AB、CD相交于點(diǎn)P，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且PE=PF，求證：AB=CD。

　�。廴�解］：如圖7-1，連結OB、OD

　　∵OE過(guò)圓心且E為AB的中點(diǎn)

　　∴OE⊥AB∴∠OEP=90°

　　同理∠OFP=90°

　　∵PE=PF∴∠PEF=∠PFE

　　∵∠OEF=90°-∠PEF，∠OFE=90°-∠PFE

　　∴∠OEF=∠OFE∴OE=OF

　　在Rt△OEB和Rt△OFD中

　　∵OE=OF，OB=OD

　　∴Rt△OEB≌Rt△OFD

　　∴BE=DF

　　∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)

　　∴AB=CD

　�。埸c(diǎn)評］：此題運用了“過(guò)圓心、平分弦，就垂直弦”的垂徑定理的推論。

　　例4.已知，⊙O的半徑OA=1，弦AB、CD的長(cháng)分別為-、-，求∠BAC的度數。

　�。廴�解］：作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E

　　∴D為AB的中點(diǎn)，AD=-；E為AC的中點(diǎn)，AE=-。在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD=AD=-，∠DAO=45°，同理∠EAO=30°。

　　當AB、AC位于OA兩側時(shí)，∠BAC=∠BAO+∠CAO=75°（如圖8-1)

　　當AB、AC位于OA同側時(shí)，∠BAC=∠BAO-∠CAO=15°（如圖8-2)

　�。埸c(diǎn)評］：此題運用了“過(guò)圓心、垂直弦，就平分弦”的垂徑定理。

　　例5.如圖，已知AB和CD為⊙O的兩條直徑，∠AOC=60°，P為-上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包括B、C點(diǎn))，且PE⊥OC，PF⊥OB，點(diǎn)E、F為垂足。

　�、�∠P的大小是否隨P點(diǎn)的變化而變化？若不變化，求∠P的度數；若變化，請說(shuō)明理由；

　�、迫鬚為-的中點(diǎn)時(shí)，求EF:OA的值。

　�。廴�解］：⑴隨著(zhù)點(diǎn)P的變化，∠P的大小不變。

　　∵∠AOC=60°∴∠COB=120°

　　在四邊形PEOF中

　　∵PE⊥OC，PF⊥OB

　　∴∠P=180°-120°=60°

　�、迫鐖D

　　∵AB是⊙O的直徑，P為-的中點(diǎn)，PF⊥OB

　　∴PF過(guò)圓心O

　　∴點(diǎn)F與點(diǎn)O重合

　　在Rt△POE中

　　∵∠P=60°∴∠POE=30°

　　∴PE：OE：OP=1：-：2

　　∵EF=OE，OA=OP，EF：OA=OE：OP=-：2

　�。埸c(diǎn)評］：此題運用了“過(guò)弧的中點(diǎn)、垂直弦，就過(guò)圓心”的垂徑定理的推論。

　　總之，垂徑定理及推論揭示了垂直于弦的直徑和這條弦以及這條弦所對的兩條弧之間的內在關(guān)系，它包含了五個(gè)元素：①過(guò)圓心②垂直弦③平分弦④平分優(yōu)�、萜椒至踊�，在上述5個(gè)元素中任意兩個(gè)組成題設，都能推出其他的三個(gè)結論；但要注意的是當①過(guò)圓心與③平分弦組成題設時(shí)，被平分的弦不能是直徑。

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